Aunque trasladada a Barcelona, ??era de familia mataronesa de toda la vida y nieto de Gaspar Borrás y Carbonell, que había sido alcalde de la capital del Maresme. A los cinco años empezó su formación musical con el profesor de piano Pere Tintorer (antiguo discípulo de Franz Liszt), aprendió armonía con Francisco Brunet y contrapunto e instrumentación con Domènec Mas i Serracant. Borràs acabó la carrera de Derecho, pero ejerció de abogado poco tiempo; trabajó en la Caja de Pensiones a la vez que se dedicaba a la composición y a la crítica musical en la prensa.
Borràs se incorporó a la redacción de El Correo Catalán en 1889, cuando aún estudiaba en la Universidad, para llevar la sección de crítica musical de este diario. A lo largo de sesenta y cuatro años continuó colaborando, tarea que complementa con colaboraciones en la barcelonesa revista Actualidad, en la madrileña Mundo Gráfico y al Diario de Mataró y la comarca. En el campo de la literatura especializada, también publicó en La Música Ilustrada Hispano Americana (1898-1902), Música (1915) y en la Revista Musical Hispano Americana. Su extensa cultura (que llegaba al conocimiento del ruso para entender las óperas en esta lengua), que se plasmaba en sus críticas, le dio un prestigio ciudadano y le permitió ser jurado de importantes competiciones y conocer y tratar todo tipo de personalidades del campo de la música.
Como compositor fue autor de obras profanas y religiosas, canciones catalanas para canto y piano o para orquesta, obras para corales y para la escena y, además de otros poetas, musicó poemas de Mossèn Cinto, como La farigola. Muestra de la estima que tuvieron las canciones de Borràs es que figura en el repertorio de grandes figuras de la lírica, como Mercedes Capsir, Francesc Viñas, Victòria dels Àngels, Miguel Fleta, Enrico Caruso, Maria Barrientos, Hipólito Lázaro, Toti dal Monte, Tito Schipa y otros, y de Conxita Supervia, que grabó La farigola y Voreta la mar (el madrigal Voreta la mar disfrutó de gran predicamento en su época, la partitura se reimprimió muchas veces y la grabaron varios cantantes).
Joan Borràs recibió varios reconocimientos públicos: el año 1906 fue nombrado miembro correspondiente de la Real Academia de Bellas Artes de San Fernando, en 1918 el ayuntamiento de Mataró le hizo Hijo Adoptivo de la Ciudad y, finalmente, se le concedió la "Cruz de Isabel la Católica". En 2006, su documentación personal ingresó en la Biblioteca de Cataluña.